Casse-tête sur le pesage des pièces de monnaie

Le casse-tête de la pesée des pièces est un casse-tête logique classique dans lequel le joueur doit identifier une fausse pièce parmi un ensemble de pièces d’apparence identique en utilisant uniquement une balance. La fausse pièce a un poids différent de celui des pièces authentiques (elle est soit plus lourde, soit plus légère), et le joueur dispose d'un nombre limité de pesées pour la trouver. Le défi consiste à élaborer une stratégie de pesée qui permette de réduire systématiquement le champ des possibilités par déduction logique, en tirant le meilleur parti de chaque comparaison.

Règles

1. On vous remet N pièces d’apparence identique. L’une d’entre elles est fausse.
2. La pièce fausse est soit plus lourde, soit plus légère que les pièces authentiques (cette information peut être précisée ou non à l’avance).
3. Vous disposez d’une balance qui compare deux groupes de pièces : elle penche vers le côté le plus lourd ou reste à l’équilibre si les deux côtés sont égaux.
4. Vous disposez d’un nombre limité de pesées (généralement entre 2 et 4, selon le nombre de pièces).
5. À l'issue de vos pesées, vous devez déterminer à la fois quelle pièce est fausse et si elle est plus lourde ou plus légère.
6. Vous ne pouvez utiliser aucun autre instrument de mesure — uniquement la balance.

Variantes classiques

| Pièces | Pesées | Sait-on si elle est plus lourde ou plus légère ? | Difficulté |

|-------|-----------|----------------------|------------|

| 8 | 2 | Oui (plus lourde) | Facile |

| 9 | 2 | Oui (plus lourde) | Facile |

| 12 | 3 | Non | Classique / Difficile |

| 27 | 3 | Oui (plus lourde) | Moyenne |

| 13 | 3 | Non | Expert |

Stratégies

• Diviser en trois : la première pesée optimale consiste à diviser les pièces en trois groupes égaux (ou aussi proches que possible de l’égalité). Pesez le groupe A contre le groupe B ; le résultat vous indique dans quel tiers se trouve la fausse pièce. En effet, une balance à trois plateaux (lourd à gauche, lourd à droite ou équilibrée) fournit le plus d’informations par pesée.
• Théorie de l’information : Chaque pesée a trois résultats possibles, donc K pesées permettent de distinguer parmi 3^K possibilités. Pour 12 pièces dont on ignore si elles sont lourdes ou légères, il existe 24 possibilités (12 pièces × 2 états), et comme 3³ = 27 ≥ 24, 3 pesées suffisent.
• Suivi des soupçons : après chaque pesée, classez les pièces dans les catégories « potentiellement lourde », « potentiellement légère », « suspecte » ou « innocente ». Seules les pièces qui se sont retrouvées du côté « lourd » d’une balance basculante peuvent être considérées comme « potentiellement lourdes ».
• Mélange des groupes : lors des pesées suivantes, mélangez les pièces issues de différentes catégories de suspicion. En observant comment le résultat change lorsqu’une pièce suspecte change de côté, vous pouvez en déduire son statut.
• La pièce de référence : Si vous avez identifié une pièce comme authentique lors d’une pesée précédente (elle se trouvait sur le plateau équilibré), vous pouvez l’utiliser comme référence lors des pesées suivantes.
• Procédé d’élimination : Parfois, le moyen le plus rapide consiste à éliminer des pièces plutôt qu’à identifier la fausse. Si la pesée est équilibrée, toutes les pièces présentes sur la balance sont authentiques.

Les énigmes de pesée de pièces de monnaie remontent à des temps très anciens et sont liées au besoin pratique de détecter les fausses pièces. Les balances figuraient parmi les tout premiers instruments de précision ; elles étaient déjà utilisées en Mésopotamie et en Égypte dès 5 000 avant J.-C. dans le cadre des échanges commerciaux. Le problème consistant à repérer une fausse pièce parmi des pièces authentiques préoccupe les commerçants, les prêteurs et les gouvernements depuis des millénaires.

La formulation mathématique de l’énigme de la pesée des pièces de monnaie a fait son apparition dans les mathématiques ludiques au début du XXe siècle. Le problème classique des 12 pièces — trouver une fausse pièce parmi 12 autres en trois pesées, en déterminant si elle est plus lourde ou plus légère — est devenu célèbre lorsqu’il a été publié dans diverses revues mathématiques dans les années 1940. Il a été popularisé par le mathématicien Howard Grossman, qui a publié une solution dans l’« American Mathematical Monthly » en 1945. Ce casse-tête est rapidement devenu un incontournable des recueils de casse-têtes mathématiques et des questions d’entretien d’embauche.

Les fondements théoriques ont été formalisés grâce à la théorie de l’information. Les travaux de Claude Shannon sur le contenu informationnel (1948) ont fourni le cadre mathématique permettant de prouver des bornes optimales : avec K pesées, on peut distinguer au plus (3^K - 3)/2 pièces lorsque l’on ignore si l’une d’entre elles est plus lourde ou plus légère, ou (3^K - 1)/2 lorsque l’on le sait. Ce lien élégant entre une énigme physique et la théorie abstraite de l’information a fait de la pesée des pièces un outil pédagogique très apprécié dans les cours d’informatique et de mathématiques.

L’énigme de la pesée des pièces est restée un incontournable des recueils d’énigmes logiques, des concours de mathématiques et des entretiens techniques dans des entreprises telles que Google, Microsoft et Goldman Sachs. Son attrait réside dans la magnifique interaction entre l’intuition physique (une balance) et le raisonnement abstrait (l’optimalité en théorie de l’information). Les versions numériques ajoutent une dimension interactive en permettant au joueur d’effectuer les pesées et de suivre visuellement les résultats, rendant ainsi le casse-tête accessible à un public plus large.