Cryptarithmetic

La cryptarithmétique (également appelée « alphamétique » ou « arithmétique verbale ») est un type de casse-tête mathématique dans lequel les chiffres sont remplacés par des lettres, et où le joueur doit déterminer quel chiffre chaque lettre représente afin de former une équation arithmétique valide. L'exemple le plus célèbre est « SEND + MORE = MONEY », où chaque lettre correspond à un chiffre unique (de 0 à 9). Ces casse-têtes allient déduction logique et raisonnement arithmétique et comportent souvent des mots qui forment une phrase cohérente, ce qui leur confère un charme linguistique supplémentaire.

Règles

1. Chaque lettre du puzzle représente un chiffre (0 à 9).
2. Une même lettre représente toujours le même chiffre tout au long du puzzle.
3. Des lettres différentes représentent des chiffres différents (aucune lettre ne partage un chiffre avec une autre).
4. Le premier chiffre d’un nombre ne peut pas être zéro (par exemple, dans SEND + MORE = MONEY, S et M ne peuvent pas être égaux à 0).
5. L’équation arithmétique doit être correcte lorsque les lettres sont remplacées par leurs chiffres correspondants.

Exemple classique : SEND + MORE = MONEY

`

S E N D

+ M O R E

---------

M O N E Y

`

Solution : S = 9, E = 5, N = 6, D = 7, M = 1, O = 0, R = 8, Y = 2 → 9 567 + 1 085 = 10 652

Stratégies

• Analyse des reports : la colonne la plus à gauche révèle souvent des reports. Dans SEND + MORE = MONEY, le M de MONEY doit être un report provenant de la colonne S+M ; donc M = 1 (le report maximal résultant de l’addition de deux chiffres unis est 1).
• Déduction colonne par colonne : Parcourez les colonnes de gauche à droite ou de droite à gauche, en tenant compte des éventuels reports provenant des colonnes adjacentes.
• Chiffres uniques : Comme toutes les lettres représentent des chiffres différents, chaque affectation élimine ce chiffre de toutes les autres lettres. Gardez une trace des chiffres encore disponibles.
• Restrictions relatives au zéro : la première lettre de chaque nombre ne peut pas être un zéro. Cela limite immédiatement certaines lettres.
• Parité et arithmétique modulaire : le dernier chiffre de la somme est déterminé par les derniers chiffres des termes à additionner. Cela permet d’éliminer rapidement certaines possibilités pour la colonne la plus à droite.
• Essais et élimination : commencez par les lettres les plus contraintes (celles apparaissant dans plusieurs colonnes ou à des positions générant des reports), attribuez-leur une valeur et vérifiez la cohérence. Revenez en arrière si une contradiction survient.

Les énigmes cryptarithmiques remontent à plusieurs siècles, mais leur forme moderne est apparue au début du XXe siècle. Le terme « cryptarithmie » a été inventé par Simon Vatriquant dans le numéro de mai 1931 du magazine belge d'énigmes Sphinx. Cependant, des casse-têtes similaires étaient déjà apparus auparavant : Henry Dudeney, prolifique créateur de casse-têtes anglais, avait publié dès 1924 des problèmes arithmétiques avec substitution de lettres dans le Strand Magazine.

Le casse-tête cryptarithmique le plus célèbre, « SEND + MORE = MONEY », a été présenté par Henry Dudeney en 1924 dans le Strand Magazine. Cette énigme est devenue l’exemple par excellence du genre, figurant dans d’innombrables recueils d’énigmes, manuels d’informatique et recueils de jeux mathématiques. Sa solution élégante (avec M = 1 imposé par le report) en fait une introduction idéale au processus de résolution.

La cryptarithmétique a conquis un nouveau public au sein de la communauté informatique dans les années 1960 et 1970, lorsqu’elle est devenue un exemple standard pour l’enseignement des problèmes de satisfaction de contraintes, des algorithmes de retour en arrière et de l’intelligence artificielle. Ce casse-tête illustre parfaitement comment des contraintes (chaque lettre correspond à un chiffre unique, l’équation doit être vérifiée, pas de zéros en tête) peuvent être appliquées de manière systématique pour réduire l’espace de recherche. Il figure dans pratiquement tous les manuels d’IA en tant qu’exercice de propagation des contraintes.

Ces casse-têtes restent populaires dans le domaine des mathématiques récréatives. Les concours et les magazines de casse-têtes proposent régulièrement des problèmes de cryptarithmétique, et le format a été étendu pour inclure la multiplication (par exemple, AB × C = DEF), la soustraction et même des casse-têtes comportant plusieurs opérations. Internet a donné naissance à des communautés dédiées à la création et à la résolution de ces casse-têtes, qui recherchent souvent des exemples où les mots forment des phrases humoristiques ou pleines de sens (comme EAT + THAT = APPLE ou WRONG + WRONG = RIGHT).