Reparte tres montoncitos de fichas y ponte de acuerdo en lo obvio: en cada turno retiras tantas fichas como quieras, todas del mismo montón, al menos una; gana quien retira la última. Las reglas las entiende un niño de seis años. Entonces aparece el rival: juega con una calma rara, y cuando ganas sientes que te dejó. No es intuición ni experiencia: es aritmética. Dentro de ese rival vive una fórmula publicada en 1901: así empieza la historia de un juego sin fecha de nacimiento que acabó con teoría completa —y de cómo la teoría cruzó la acera para jugar contigo—.
Lo que nadie pudo fechar
De montoncitos se ha retirado en todos los continentes durante siglos, y nadie ha fijado la cuna. Se dice que el juego viene de la China antigua —recuerda al jiǎn-shízǐ, pasatiempo de recoger piedras—, aunque las primeras referencias europeas escritas son del siglo XVI, y el veredicto honesto de la enciclopedia es este: el origen es incierto (Wikipedia, versión consultada hoy). Tampoco está zanjada la genealogía con nombre que circula —un juego de tejas de Lewis Carroll, una versión japonesa de alrededor de 1910—: hoy no hemos podido trazar ninguna a fuente enlazable; quedan como [pendientes], fuera de los hechos. El juego no necesita partida de nacimiento para ser jugable; esta historia solo necesita una fecha que resista el escrutinio. La hay: limpísima.
1901: la fecha limpia
En 1901 Charles L. Bouton, matemático de Harvard, publicó «Nim, a game with a complete mathematical theory»: un título que promete lo imposible en un juego de salón —una teoría completa— y lo cumple. Bouton bautizó además el juego; el origen de la palabra nunca quedó del todo explicado, y el diccionario inglés la deriva del alemán nimm, «toma». La idea cabe en una servilleta: escribe en binario el tamaño de cada montón y súmalos columna a columna sin llevares —la operación que la computación llama XOR—; Si el resultado vale 0, quien mueve ha perdido con juego perfecto del contrario; si vale otra cosa, siempre existe un recorte que deja 0 para el rival. Ejemplo clásico, montones de 3, 5 y 7: en binario 011, 101 y 111; columna a columna sin llevares sale 001, distinto de 0, luego hay jugada ganadora —reduce el 7 a 6 y el tablero 3-5-6 suma 0: el rival hereda la pérdida—. Lo demás es cinta mecánica: él desequilibra, tú reequilibras, y las fichas se acaban en tu favor. Hay variantes donde pierde quien toma la última ficha —también analizadas—, pero el catálogo juega la versión normal.
El teorema engendra máquinas
La teoría salió del papel antes de lo que parece. Westinghouse montó el Nimatron: una tonelada de relés electromecánicos, idea del físico Edward U. Condon y obra de Gerald L. Tawney y Willard A. Derr, estrenado en la temporada de 1940 de la Feria Mundial de Nueva York. Los visitantes jugaron más de 100.000 partidas, y el contador registró unas 90.000 victorias de la máquina —marca falseada a mano: los operadores conocían los doce patrones fijos con que jugaba y podían ganarle cuando querían, solo para demostrar que se podía; el raro vencedor se volvía con una moneda que decía «Nim Champ»—. En 1951 el Nimrod de Ferranti se exhibió en el Festival de Gran Bretaña: jugaba únicamente a Nim, pero estaba montado para demostrar la pericia de la casa, no para entretener; tenía hasta un modo lento, para que el presentador explicara con luces lo que la máquina hacía por dentro. El público volvió espectáculo la demostración —Alan Turing se sentó ante ella—, y la matemática daba el salto mayor: en los años treinta, Sprague y Grundy probaron por separado que todo juego imparcial equivale a una posición de Nim (teorema de Sprague–Grundy). Nim dejó de ser un juego: se volvió latín de la teoría.
El teorema juega en el catálogo
Aquí la historia cierra en el taller, con una precisión debida: en el Nim del catálogo la teoría la usa el propio juego.
Nuestro rival hace el cálculo de la servilleta: suma cada turno los montones en binario sin llevares y, si no da cero, recorta el montón preciso para dejarlo en cero —la jugada de Bouton, 1901, en producción—. Si hereda una posición perdida, afloja: quita una ficha al azar, porque, como dice nuestra propia nota interna, la única esperanza es que falles. Los montones son tres, aleatorios según el nivel: de tres a cinco fichas cada uno en Fácil, de seis a doce en Experto. Y el juego, a propósito, no da pistas ni permite deshacer: la máquina responde al instante, y desandar tu jugada dejaría el turno incoherente. No compites contra una memoria: compites contra un teorema. Si pierdes sin saber por qué, la suma ya valía cero antes de tu error.
Y ahora, mesa tuya
El Nim del catálogo abre en el navegador: tres montoncitos, versión normal —gana quien retira la última ficha—, y un rival óptimo cuando puede, aleatorio cuando está perdido. Empieza por el Fácil, traduce los montones a binario y busca la jugada que deja cero: es la misma que describió un profesor de Harvard hace más de un siglo. Lo único que ha cambiado es la acera desde la que te la juegan.