Mastermind

Mastermind es un juego que rompe códigos donde un jugador (o el ordenador) establece un código secreto —una secuencia de pelucas coloreadas— y el otro jugador intenta adivinarlo dentro de un número limitado de intentos. Después de cada conjetura, el codificador proporciona retroalimentación indicando cuántas pelucas son el color correcto en la posición correcta (negros negros) y cuántos son el color correcto pero en la posición incorrecta (negros blancos). La versión clásica utiliza 4 posiciones y 6 colores, permitiendo 10-12 adivinaciones.

Reglas

1. El codificador crea un código secreto de 4 pelucas de colores, elegidos de 6 colores posibles. Se permiten colores duplicados.
2. El codificador hace una conjetura colocando 4 pelucas de colores en una fila.
3. El codificador responde con pelucas de retroalimentación:

• ¿Qué? Una peluca es el color correcto en la posición correcta.
• ¿Qué? Una peluca es el color correcto pero en la posición incorrecta.

1. Cada color en la conjetura se combina a la mayoría de la vez: los partidos exactos (negro) toman prioridad sobre los partidos de color (blanco).
2. El codebreaker utiliza la retroalimentación para refinar las suposiciones posteriores.
3. El juego termina cuando el código se adivina correctamente o el número máximo de adivinaciones se agota.

Estrategias

*El Algoritmo de Nuth* En 1977, Donald Knuth demostró que el clásico 4-peg, 6-color Mastermind siempre puede ser resuelto en la mayoría de 5 conjeturas. Su algoritmo minimax comienza con la conjetura (1, 1, 2, 3) y elige cada conjetura posterior para minimizar el número peor de posibilidades restantes.

• Primera Adivina Optimización: Comience con una conjetura que contiene dos pares de colores (por ejemplo, AABB). Esto proporciona información máxima sobre qué colores están presentes.
• Códigos eliminados de tráfico: Después de cada retroalimentación, eliminar mental o físicamente todos los códigos incompatibles con la retroalimentación recibida hasta ahora. Su próxima suposición debe ser consistente con todos los comentarios anteriores.
• Maximización de la información: Elija las conjeturas que dividen las posibilidades restantes en grupos de igual tamaño posible. La conjetura que crea la división más uniforme proporciona la mayor información independientemente de la retroalimentación.
• Conteo de colores: Use adivinaciones tempranas para determinar qué colores aparecen en el código y cuántas veces. Una vez que conozca la composición de color, concéntrese en encontrar el arreglo correcto.
• Proceso de eliminación: Si una conjetura recibe 0 negro, 0 comentarios blancos, ninguno de esos colores aparecen en el código. Esto puede reducir drásticamente el espacio de búsqueda.

Mastermind fue inventado en 1970 por Mardoqueo Meirowitz, un postmaster israelí y experto en telecomunicaciones. Después de ser rechazado por varias compañías de juguetes, el juego fue finalmente fabricado y distribuido por Invicta Plastics, una pequeña empresa británica con sede en Leicester, Inglaterra. El juego fue lanzado en 1971 y se convirtió en una sensación internacional, vendiendo más de 50 millones de copias en su primera década.

El diseño del juego fue influenciado por un viejo juego de lápiz y papel llamado "Bulls and Cows" (también conocido como "Moo"), que data al menos a principios del siglo XX. En Bulls and Cows, los jugadores adivinan un número secreto, recibiendo comentarios sobre los dígitos correctos en posiciones correctas ("bulls") y los dígitos correctos en posiciones erróneas ("cows"). La innovación de Meirowitz fue transformar este juego de números abstractos en un juego de tableros visualmente atractivo con pelucas de colores, lo que lo hizo accesible a un público más amplio.

Mastermind atrajo una atención significativa de los matemáticos y los científicos informáticos. En 1977, Donald Knuth publicó un documento histórico que demuestra que el codebreaker siempre puede determinar el código en la mayoría de cinco adivinaciones utilizando una estrategia minimax. Este análisis conectó el juego a la teoría de la información, combinatoria y diseño de algoritmos. El problema de la estrategia óptima de Mastermind ha sido estudiado extensamente, con variantes que implican diferentes números de pelucas y colores analizados por su complejidad computacional, de hecho, Mastermind con un número arbitrario de pelucas y colores se demostró ser completo en 2005.

El juego ha generado numerosas variantes, incluyendo Super Mastermind (5 pegs, 8 colores), Grand Mastermind (5 pegs con formas de patrón), y versiones electrónicas. También ha influenciado el diseño del juego más ampliamente, con el mecánico Mastermind apareciendo en videojuegos como "Fallout" (hacking final) y el juego móvil "Wordle" (que aplica un mecanismo de retroalimentación similar para adivinar palabras). Mastermind sigue siendo un pilar de colecciones de juegos lógicos y una introducción popular al razonamiento combinatorio.